Algorithm Complexity


1.简单介绍

• 算法复杂度O
• 包括时间复杂度、空间复杂度

2.时间复杂度

1. 介绍

   1. 赋值语句决定了程序运行时间，赋值语句越多，时间越长。
   2. 大O表示法：**T(n)**表示主导的数量级
   3. 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
   4. T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。
   5. 计算时间复杂度的方法：
      • 用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
      • 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
      • 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

2. 计算方式

   • 事后统计的方法: 这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。
   • 事前估算的方法: 通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.

3. 时间频度

   • 时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)

   • 举例说明

     比如计算1-100所有数字之和, 我们设计两种算法：

  int total = 0;
  int end = 100;
  //使用for循环计算
  for(int i=0;i<=end;i++){
      total+=i;
  }
  //时间复杂度T(n)=n+1;

//直接计算
total=(1+end)*end/2;

1. 计算时可进行忽略部分

   • 忽略常数项
     1. )
     2. 结论
        • 2n+20 和 2n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 20可以忽略
        • 3n+10 和 3n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 10可以忽略
   • 忽略低次项
     1. )
     2. 结论
        • 2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
        • n^2+5n+20 和 n^2 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20
   • 忽略系数
     1.  
     2. 结论
        • 随着n值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5和3可以忽略。
        • 而n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键

2. 常见的时间复杂度

   1. 常数阶O(1)

      • 无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)
      • int i = 1;
        int j = 2;
        ++i;
        j++;
        int m = i + j;
      • 上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

   2. 对数阶O(log2n)

      • int i = 1;

        while(i<n){

        i = i * 2;

        }

• 说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n)
  • 
• N=2^x > n= 2^i ; 1024=2^10 log2(1024)=10
• 

1. 线性阶O(n)

   • for (int i = 1; i<=n; ++i){

     j = i;
     j++;

     }

• 这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

1. 线性对数阶O(nlog2n)

   • for(m = 1;m<n;m++){
     i=1;
     while(i<n){

     i = 1 * 2;

     }
     }

   • 线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

2. 平方阶O(n^2)

   • for(x = 1;x<=n;x++){

     for (i = 1; i<=n; i++){

     }
     }

   • 平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(mn)

3. 立方阶O(n^3)

4. k次方阶O(n^k)

5. 指数阶O(2^n)

6. 

7. 说明

   • 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
   • 从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

8. 平均时间复杂度和最坏时间复杂度

   1. 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
   2. 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
   3. 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。
   4. 

3.空间复杂度

1. 基本介绍
   • 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。
   • 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况
   • 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.
2. 空间复杂度
   • 算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，
   • 算法的空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数，也是一种“渐进表示法”，这些所需要的内存空间通常分为“固定空间内存”
   • （包括基本程序代码、常数、变量等）和“变动空间内存”（随程序运行时而改变大小的使用空间）。
3. 计算方法
   • 例如递归算法。忽略常数，用O(1)表示 ，递归算法的空间复杂度=递归深度N*每次递归所要的辅助空间， 对于单线程来说，递归有运行时堆栈，求的是递归最深的那一次压栈所耗费的空间的个数，因为递归最深的那一次所耗费的空间足以容纳它所有递归过程。